Parametreleştirilmiş metodun kesirli mertebeden bir av-avcı modeline uygulanması

Abstract

Bu tez çalışmasında, klasik türevli sistemlerin ötesine geçilerek, Caputo, Atangana–Baleanu ve Caputo–Fabrizio gibi kesirli türev tanımlarıyla ifade edilen diferansiyel denklemler teorik ve sayısal açıdan kapsamlı bir şekilde incelenmiştir. Çalışmanın ilk aşamasında, bellek etkisi barındıran bu kesirli diferansiyel denklemlerin çözümlerine dair varlık ve teklik koşulları sunularak, ilgili türev tanımlarının matematiksel tutarlılığının sağlanması hedeflenmiştir. Daha sonra, söz konusu kesirli sistemlerin nümerik çözümleri için parametrik bir çözüm yaklaşımı kullanılmış; bu yöntem, kestirici–düzeltici Euler yöntemi ile karşılaştırılarak doğruluk ve hesaplama açısından bir hata analizi gerçekleştirilmiştir. Bu karşılaştırmalı analiz, önerilen yöntemin özellikle bellekli sistemlerde daha kararlı ve doğru sonuçlar üretebildiğini ortaya koymaktadır. Son olarak, geliştirilen nümerik yöntem, farklı kesirli türev tanımlarına sahip bir av–avcı dinamik modeli üzerine uygulanmış; sistemin zamanla evrimi çeşitli simülasyonlar aracılığıyla incelenmiştir. Elde edilen sonuçlar, kesirli türevlerin yalnızca teorik bir zenginlik sunmakla kalmayıp, aynı zamanda dinamik sistemlerin davranışlarını daha gerçekçi ve esnek biçimde modelleyebileceğini göstermektedir. Bu yönüyle tez, kesirli analizin uygulamalı matematik ve modelleme alanlarında sunduğu potansiyelin altını çizen önemli katkılar içermektedir.

In this thesis, a comprehensive theoretical and numerical investigation is conducted on differential equations expressed through contemporary definitions of fractional derivatives, such as those of Caputo, Atangana–Baleanu, and Caputo–Fabrizio, thereby extending beyond the scope of classical derivative-based systems. In the first stage of the study, existence and uniqueness conditions for solutions of these memory-influenced fractional differential equations are presented, aiming to ensure the mathematical consistency of the associated derivative formulations. Subsequently, a parametric numerical approach is employed to solve these fractional systems. This proposed method is compared with the well-known predictor–corrector Euler scheme through detailed error analysis in terms of both accuracy and computational efficiency. The comparative results demonstrate that the proposed method yields more stable and accurate solutions, particularly for systems governed by memory effects. Finally, the developed numerical approach is applied to a predator–prey dynamic model incorporating various fractional derivative types. The temporal evolution of the system is explored through a series of simulations. The findings reveal that fractional derivatives not only enrich the theoretical framework but also enhance the realism and flexibility of dynamic system modeling. In this respect, the thesis offers significant contributions by highlighting the potential of fractional calculus in the fields of applied mathematics and mathematical modeling.