Kesirli diferansiyel denklemlerin nümerik çözümü için modifiye euler kestirici-düzeltici (predictor-corrector) yöntemi: Yeşil bina modeline uygulamaları

Abstract

Bu tez çalışmasında, sera gazı etkisinin azaltılmasına yönelik stratejilerden biri olarak değerlendirilen yeşil bina uygulamalarına dayalı bir matematiksel model ele alınmakta; bu modelin hem klasik türev hem de Caputo, Caputo–Fabrizio ve Atangana–Baleanu tanımlı kesirli türevler altında elde edilen farklı versiyonlarının Euler kestirici–düzeltici (predictor–corrector) yöntemi aracılığıyla nümerik çözümleri incelenmektedir. Çalışmada öncelikle modelin temel nitelikleri analiz edilerek, çözüm fonksiyonlarının pozitifliği ve sistemin dinamizmini belirleyen parametrelerin rolü ortaya konmaktadır. Ardından, sera gazının yayılım hızını niceliksel olarak ifade eden yeniden üretim sayısı (reproductive number) türetilmekte ve modelin farklı türev tanımları altındaki davranışı bu temel eşik değeri üzerinden değerlendirilmektedir. Son olarak, her bir türev yaklaşımına karşılık gelen model versiyonları için gerçekleştirilen nümerik simülasyonlar, sistemin zamansal evrimini ve kesirli türev düzenlerinin dinamiklere etkisini görselleştirerek sonuçların karşılaştırmalı analizine olanak sağlamaktadır.

In this thesis, a mathematical model based on green building practices—considered one of the strategies for mitigating the effects of greenhouse gases—is examined. The study investigates the numerical solutions of the model obtained under both the classical derivative and fractional derivatives defined in the sense of Caputo, Caputo–Fabrizio, and Atangana–Baleanu, using the Euler predictor–corrector method. First, the fundamental properties of the model are analyzed, emphasizing the positivity of the solution functions and the role of parameters that govern the system's dynamics. Subsequently, the reproductive number, which quantitatively characterizes the rate of greenhouse gas propagation, is derived, and the model's behavior under different derivative definitions is evaluated with respect to this key threshold value. Finally, numerical simulations conducted for each derivative formulation visualize the temporal evolution of the system and illustrate the influence of fractional derivative operators on the dynamics, thereby enabling a comparative analysis of the results.