Uyumlu türevin özelikleri ve bazı uygulamaları

Bu yüksek lisans tezi, modern uygulamalı matematiğin ve lineer olmayan dinamiklerin önemli bir parçası olan kesirli hesaplamalar ile kaotik sistemlerin analizine odaklanmaktadır. Çalışmanın temel amacı, klasik türev yaklaşımlarının ötesine geçerek; Uyumlu (Conformable), Fraktal ve Global türev operatörlerinin karmaşık sistemlerin matematiksel modellemesi üzerindeki etkilerini incelemektir. Tezin ilk aşamasında, temel tanım ve teoremler çerçevesinde harmonik salınıcılar; basit, sönümlü, zorlamalı ve kuantum modelleri üzerinden ele alınmış, bu sistemlerin lineer ve lineer olmayan dinamikleri detaylandırılmıştır. Uygulama bölümünde ise literatürde kaotik davranışlarıyla öne çıkan Chua Modeli ve Newton-Leipnik sistemi üzerine yoğunlaşılmıştır. Bu modellerin analizi için kesirli analiz yöntemleri ve uyumlu Laplace dönüşümü kullanılarak teorik çözümler ve metodolojik yaklaşımlar geliştirilmiştir. Çalışmanın sonuç bölümünde, sayısal simülasyonlar aracılığıyla sistemlerin faz-uzay topolojileri ve $\alpha$ parametresine bağlı dinamik değişimleri analiz edilmiştir. Elde edilen bulgular, Chua devresindeki geçici dinamiklerin hızlandırılmış dağılımını ve Newton-Leipnik modelindeki kaotik çekicilerin geometrik modülasyonunu ortaya koymaktadır. Bu çalışma, kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin kaotik sistemlerin sönümleme ve salınım karakteristiklerini anlamlandırmadaki etkinliğini kanıtlar niteliktedir.

This master's thesis focuses on the analysis of chaotic systems and fractional calculus, which are essential components of modern applied mathematics and non-linear dynamics. The primary objective of the study is to investigate the effects of Conformable, Fractal, and Global derivative operators on the mathematical modeling of complex systems, moving beyond classical derivative approaches. In the initial phase of the thesis, harmonic oscillators including simple, damped, forced, and quantum models are examined within the framework of fundamental definitions and theorems, detailing their linear and non-linear dynamics. The application section concentrates on the Chua Model and the Newton-Leipnik system, which are prominent in the literature for their chaotic behavior. Fractional analysis methods and the Conformable Laplace transform were employed to develop theoretical solutions and methodological approaches for these models. In the concluding part of the study, phase-space topologies and $\alpha$-dependent dynamic transitions of the systems are analyzed through numerical simulations. The findings reveal the accelerated diffusion in transient dynamics of the Chua circuit and the geometric modulation of chaotic attractors in the Newton-Leipnik model. This research demonstrates the effectiveness of fractional-order differential equations in characterizing the damping and oscillation features of chaotic systems.